Aufgabenstellung und Berechnungsziel
Das Modul TIME berechnet instationäre Wärmeübertragungsvorgänge – also das zeitliche Verhalten von Systemen beim Aufheizen oder Abkühlen. Während die stationäre Auslegung eines Wärmeübertragers nur den Beharrungszustand betrachtet, interessiert in der Praxis oft die Zeit: Wie lange dauert es, einen Behälterinhalt von der Anfangs- auf die Zieltemperatur zu bringen? Wie schnell kühlt ein Apparat bei Heizungsausfall aus? Wann unterschreitet ein Produkt seine kritische Temperatur, etwa den Stockpunkt?
Grundlage ist die instationäre Wärmebilanz: Die Temperaturänderung der Wärmekapazität des Systems (Masse mal spezifische Wärmekapazität von Medium und Apparat) wird gegen den zeitabhängigen Wärmestrom bilanziert, der über den Wärmedurchgangskoeffizienten und die Austauschfläche an die Wärmesenke oder Wärmequelle fließt. Da die treibende Temperaturdifferenz mit fortschreitendem Prozess abnimmt, ergibt sich der typische exponentielle Temperatur-Zeit-Verlauf.
Anwendungen finden sich überall im Anlagenbau und in der Verfahrenstechnik: Aufheiz- und Abkühlzeiten von Rührbehältern und Lagertanks, Auslegung von Batch-Prozessen, Bewertung von Stillstandszeiten und Frostschutzfragen sowie die Abschätzung, ob eine vorhandene Heiz- oder Kühlleistung für die geforderte Prozesszeit ausreicht.
So läuft die Berechnung ab
- System und Wärmekapazität definieren: Erfasst werden die Massen und spezifischen Wärmekapazitäten des Mediums und gegebenenfalls des Apparats selbst; daraus ergibt sich die gesamte Wärmekapazität, die aufgeheizt oder abgekühlt werden muss.
- Wärmeübertragung zur Senke/Quelle beschreiben: Der Wärmedurchgangskoeffizient und die Austauschfläche zur Wärmesenke bzw. -quelle (Heizschlange, Mantel, Umgebung) werden bestimmt – entweder aus einer separaten Wärmeübergangsberechnung übernommen oder direkt vorgegeben.
- Anfangs- und Randtemperaturen festlegen: Anfangstemperatur des Systems sowie die Temperatur der Senke oder Quelle (z. B. Kühlwasser-, Heizmittel- oder Umgebungstemperatur) werden gesetzt; bei durchströmten Heiz-/Kühlmedien geht auch deren Massenstrom in die Bilanz ein.
- Zeitverlauf berechnen: Aus der instationären Bilanz ergibt sich der Temperatur-Zeit-Verlauf des Systems. Das Modul liefert die Zeit bis zum Erreichen einer Zieltemperatur bzw. die Temperaturänderung nach vorgegebener Zeit.
- Ergebnis interpretieren: Anhand des Verlaufs wird geprüft, ob Prozesszeiten eingehalten werden oder kritische Temperaturen (Stockpunkt, Frostgrenze, zulässige Produkttemperatur) im betrachteten Zeitraum unter- bzw. überschritten werden.
Eingabegrößen
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Zeit | t | s |
| Starttemperatur des Fluids | Tflo | °C |
| Temperatur des Fluids | Tfl | °C |
| Starttemperatur des Körpers | Tko | °C |
| Temperatur des Körpers | Tk | °C |
| Körperoberfläche | A | m² |
| Körpermasse | Mk | kg |
| Spezifische Wärmekapazität des Körpers | cpk | J/(kg·K) |
| Wärmeübergangskoeffizient (Körper - Fluid) | α | W/(m²·K) |
| Eintrittstemperatur des Heiz-/Kühlmediums | Th,Eintritt | °C |
| Fluidmasse | Mfl | kg |
| Spezifische Wärmekapazität des Fluids | cpfl | J/(kg·K) |
| Heiz-/Kühlmassenstrom | Mh | kg/s |
| Spezifische Wärmekapazität des Heiz-/Kühlmediums | cph | J/(kg·K) |
| Wärmedurchgangskoeffizient | k | W/(m²·K) |
| Temperatur nach unendlicher Zeit | Tsys | °C |
| Isolationsdicke | Isolation | m |
| Wärmeleitfähigkeit der Isolation | Isolation | W/(m·K) |
| Systemtemperatur am Anfang der Transiente | Behälterinhaltes | °C |
| Behältermasse | Behältermasse | kg |
| Spezifische Wärmekapazität des Behältermaterials | Behältermaterials | J/(kg·K) |
| Wärmeleitfähigkeit der Behälterwand in Sektion I | I | W/(m·K) |
| Wärmeleitfähigkeit der Behälterwand in Sektion II | II | W/(m·K) |
| Behälterwanddicke in Sektion I | I | m |
Berechnungsergebnisse
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Zeitschrittweite | Zeit | s |
| Endtemperatur | Endtemperatur | °C |
Berechnungsoptionen
Option
Unendliches Fluid · Endliches isoliertes Fluid · Beheizung / Abkühlung · Transiente
Gelöstes Beispiel
Ein ideal gerührter Behälter enthält 5 000 kg Wasser von 90 °C und kühlt über eine Kühlschlange ab, deren Kühlwassertemperatur näherungsweise konstant 20 °C beträgt. Wärmedurchgangskoeffizient k = 350 W/(m²·K), Austauschfläche A = 8 m². Gesucht ist die Zeit, bis der Inhalt 40 °C erreicht (Wärmekapazität des Behälters und Umgebungsverluste vernachlässigt).
Gegebene Werte
| Masse Wasser m | 5 000 kg |
| Spez. Wärmekapazität cp | 4 186 J/(kg·K) |
| Anfangstemperatur ϑ0 | 90 °C |
| Zieltemperatur ϑ1 | 40 °C |
| Kühlmitteltemperatur ϑK | 20 °C (konstant) |
| Wärmedurchgangskoeffizient k | 350 W/(m²·K) |
| Austauschfläche A | 8 m² |
Lösungsweg
Instationäre Bilanz
Für das ideal durchmischte System mit konstanter Senkentemperatur gilt:
m · cp · dϑ/dt = −k · A · (ϑ − ϑK)
mit der Lösung t = (m · cp)/(k · A) · ln[(ϑ0 − ϑK)/(ϑ1 − ϑK)]
Zeitkonstante
m · cp = 5 000 · 4 186 = 20,93 · 10⁶ J/K
k · A = 350 · 8 = 2 800 W/K
τ = 20,93 · 10⁶ / 2 800 ≈ 7 475 s ≈ 2,08 h
Abkühlzeit
t = τ · ln[(90 − 20)/(40 − 20)] = 7 475 · ln(3,5) = 7 475 · 1,2528 ≈ 9 360 s ≈ 2,6 h
Ergebnis
| Zeitkonstante τ | ≈ 2,1 h |
| Abkühlzeit 90 → 40 °C | ≈ 9 360 s ≈ 2,6 h |
Alle Werte sind beispielhaft. Maßgeblich sind das jeweils gültige Regelwerk und die projektspezifischen Randbedingungen.
Häufige Fragen
Welche Annahme steckt hinter dem exponentiellen Temperaturverlauf?
Das ideal durchmischte System (Rührkesselannahme): Der gesamte Inhalt hat zu jedem Zeitpunkt eine einheitliche Temperatur, und der Wärmestrom ist proportional zur aktuellen Temperaturdifferenz. Dann folgt die Temperatur einer Exponentialfunktion mit der Zeitkonstante τ = m·cp/(k·A). Bei ungerührten, geschichteten Behältern oder bei dickwandigen Bauteilen mit innerem Temperaturgefälle (große Biot-Zahl) weicht das reale Verhalten davon ab.
Muss die Wärmekapazität des Apparats mitgerechnet werden?
Bei schweren Apparaten mit vergleichsweise wenig Inhalt – etwa dickwandigen Druckbehältern oder Tanks mit kleinem Füllstand – kann die Stahlmasse einen erheblichen Anteil der Gesamtwärmekapazität stellen und die Aufheizzeit deutlich verlängern. Als Faustregel sollte sie immer dann berücksichtigt werden, wenn m·cp des Apparats mehr als etwa 10 % des Inhaltswerts erreicht.
Warum weichen berechnete Aufheizzeiten oft von der Praxis ab?
Die häufigsten Ursachen: Der Wärmedurchgangskoeffizient wurde für saubere Flächen angesetzt (Fouling verlängert die Zeit), die Heizmitteltemperatur ist nicht konstant (Dampfdruckschwankungen, begrenzte Heizleistung), Wärmeverluste an die Umgebung wurden vernachlässigt, oder das Gut ist nicht ideal durchmischt. Für belastbare Zusagen sollte man mit konservativen k-Werten rechnen und Verluste explizit ansetzen.
Was ändert sich, wenn das Heiz- oder Kühlmedium selbst seine Temperatur ändert?
Bei durchströmten Heiz-/Kühlmedien mit begrenztem Massenstrom ist nicht die Eintrittstemperatur, sondern eine wirksame mittlere Temperaturdifferenz maßgebend; die Bilanz wird dann über eine Effektivitäts- bzw. NTU-Betrachtung des Wärmeübertragers geführt. Kondensierender Dampf ist der Sonderfall mit praktisch konstanter Heizmitteltemperatur – hier gilt die einfache Exponentiallösung am besten.