Aufgabenstellung und Berechnungsziel
Das Modul FN berechnet die reale (korrigierte) logarithmische Temperaturdifferenz für unterschiedliche Wärmeübertrager-Bauarten. Aus den vier Prozesstemperaturen – Ein- und Austrittstemperatur auf der Außenseite sowie Ein- und Austrittstemperatur auf der Innenseite – wird zunächst die logarithmische Temperaturdifferenz für reinen Gegenstrom gebildet und anschließend mit dem bauartabhängigen Korrekturfaktor F multipliziert.
Der Korrekturfaktor erfasst, dass reale Apparate – Rohrbündelwärmeübertrager mit mehreren rohrseitigen Durchgängen, Kreuzstromapparate oder Plattenwärmeübertrager mit gemischten Schaltungen – nicht im idealen Gegenstrom arbeiten. Die über die Kennziffer gewählte Bauart bestimmt die zugrunde liegende F-Funktion; die Zusammenhänge gehen auf die klassischen Arbeiten von Bowman, Mueller und Nagle zurück und sind im VDI-Wärmeatlas (Abschnitt zur mittleren Temperaturdifferenz) dokumentiert.
Gebraucht wird die reale logarithmische Temperaturdifferenz bei jeder thermischen Auslegung nach der LMTD-Methode: Die Übertragungsfläche folgt aus A = Q̇ / (k · Δϑm), und ein zu optimistisch angesetztes Δϑm führt direkt zu einer zu klein ausgelegten Heizfläche.
So läuft die Berechnung ab
- Bauart wählen: Über die Kennziffer der Wärmeübertrager-Bauart wird die Stromführung festgelegt – z. B. reiner Gegen- oder Gleichstrom, Rohrbündel mit einem mantelseitigen und zwei rohrseitigen Durchgängen (1-2-Schaltung), mehrgängige Schaltungen oder Kreuzstromvarianten.
- Temperaturen eingeben: Eingegeben werden die Eintritts- und Austrittstemperatur auf der Außenseite sowie die Eintritts- und Austrittstemperatur auf der Innenseite. Die Temperaturpaare müssen aus einer konsistenten Wärmebilanz stammen.
- Gegenstrom-LMTD bilden: Aus den Temperaturdifferenzen an beiden Apparateenden wird die logarithmische Temperaturdifferenz für ideale Gegenstromführung dϑGegen berechnet.
- Korrekturfaktor bestimmen: Aus den dimensionslosen Kenngrößen der Temperaturänderungen (Wärmekapazitätsstrom-Verhältnis R und Aufheizverhältnis P) wird der bauartabhängige Korrekturfaktor F ≤ 1 ermittelt.
- Reale Temperaturdifferenz ausgeben: Die reale logarithmische Temperaturdifferenz ergibt sich als Produkt aus Korrekturfaktor und Gegenstrom-LMTD; sie geht direkt in die Heizflächenberechnung A = Q̇/(k·Δϑm) ein.
Eingabegrößen
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Kennziffer Wärmeübertrager-Bauart | Wärmeübertragers | - |
| Eintrittstemperatur | ϑei ϑea | °C |
| Austrittstemperatur | ϑai ϑaa | °C |
| Eintrittstemperatur | ϑei ϑea | °C |
| Austrittstemperatur | ϑai ϑaa | °C |
| Logarithmische Temperaturdifferenz (Gegenstrom) dϑGegen | Gegenstrom | K (diff) |
| Korrekturfaktor | FN | - |
| Reale logarithmische Temperaturdifferenz | dϑm | K (diff) |
| Anzahl seriell geschalteter Wärmeübertrager | Z | - |
| Anzahl rohrseitiger Durchgänge NR | Durchgänge | - |
| Anzahl mantelseitiger Durchgänge NM | Durchgänge | - |
| Anzahl der Umlenkbleche pro Tauscher NU | Umlenkbleche | - |
| Massenstrom | mi ma | kg/s |
| Massenstrom | mi ma | kg/s |
| Spezifische Wärmekapazität | cpi cpa | J/(kg·K) |
| Spezifische Wärmekapazität | cpi cpa | J/(kg·K) |
| Wärmedurchgangskoeffizient | k | W/(m²·K) |
| Wärmeübertragerfläche | A | m² |
| Wärmeübertrager Ausführung | Ausführung | - |
Gelöstes Beispiel
Ein Rohrbündelwärmeübertrager in 1-2-Schaltung (ein mantelseitiger, zwei rohrseitige Durchgänge) kühlt außen ein Prozessmedium von 90 °C auf 50 °C; innen wird Kühlwasser von 20 °C auf 45 °C erwärmt. Gesucht sind die Gegenstrom-LMTD, der Korrekturfaktor F und die reale logarithmische Temperaturdifferenz.
Gegebene Werte
| Eintrittstemperatur außen T1 | 90 °C |
| Austrittstemperatur außen T2 | 50 °C |
| Eintrittstemperatur innen t1 | 20 °C |
| Austrittstemperatur innen t2 | 45 °C |
| Bauart | 1 mantelseitiger, 2 rohrseitige Durchgänge |
Lösungsweg
Gegenstrom-LMTD
Temperaturdifferenzen an den Apparateenden (Gegenstrom):
Δϑ1 = T1 − t2 = 90 − 45 = 45 K
Δϑ2 = T2 − t1 = 50 − 20 = 30 K
ΔϑGegen = (Δϑ1 − Δϑ2) / ln(Δϑ1/Δϑ2) = (45 − 30) / ln(45/30) = 15 / 0,4055 = 37,0 K
Dimensionslose Kenngrößen
R = (T1 − T2) / (t2 − t1) = 40 / 25 = 1,60
P = (t2 − t1) / (T1 − t1) = 25 / 70 = 0,357
Korrekturfaktor F für die 1-2-Schaltung
Mit der Beziehung nach Bowman für einen mantelseitigen und zwei rohrseitige Durchgänge:
F = [√(R²+1)/(R−1)] · ln[(1−P)/(1−P·R)] / ln[(2 − P·(R+1−√(R²+1))) / (2 − P·(R+1+√(R²+1)))]
Mit √(R²+1) = 1,887 folgt:
Zähler: (1,887/0,60) · ln(0,643/0,429) = 3,145 · 0,4055 = 1,275
Nenner: ln(1,745/0,398) = 1,479
F = 1,275 / 1,479 = 0,862
Reale logarithmische Temperaturdifferenz
Δϑm = F · ΔϑGegen = 0,862 · 37,0 K = 31,9 K
Gegenüber reinem Gegenstrom steht in der 1-2-Schaltung also rund 14 % weniger treibende Temperaturdifferenz zur Verfügung – die Heizfläche muss entsprechend größer ausgelegt werden.
Ergebnis
| Logarithmische Temperaturdifferenz (Gegenstrom) | 37,0 K |
| Korrekturfaktor F | 0,862 |
| Reale logarithmische Temperaturdifferenz | 31,9 K |
Alle Werte sind beispielhaft. Maßgeblich sind das jeweils gültige Regelwerk und die projektspezifischen Randbedingungen.
Häufige Fragen
Warum wird immer mit der Gegenstrom-LMTD als Basis gerechnet?
Der Gegenstrom liefert bei gegebenen Temperaturen die größtmögliche mittlere Temperaturdifferenz und dient deshalb als Referenz. Jede andere Stromführung erreicht nur einen Bruchteil davon, den der Korrekturfaktor F ≤ 1 beschreibt. So bleibt die Methode für alle Bauarten einheitlich.
Ab welchem Korrekturfaktor gilt eine Schaltung als ungeeignet?
Als Faustregel sollte F nicht unter etwa 0,75–0,8 liegen. Kleinere Werte bedeuten, dass der Apparat in einem Bereich arbeitet, in dem die F-Kurven steil abfallen – kleine Abweichungen der Betriebstemperaturen führen dann zu großen Flächenfehlern. Abhilfe schaffen mehr mantelseitige Durchgänge in Serie oder eine echte Gegenstromschaltung.
Gilt die LMTD-Methode auch bei Phasenwechsel?
Bei isothermer Kondensation oder Verdampfung auf einer Seite ist die Stromführung ohne Bedeutung, der Korrekturfaktor wird zu F = 1 und die einfache LMTD gilt exakt. Bei gleitenden Kondensations-/Verdampfungstemperaturen (Gemische, überlagerter Sensibelwärmeanteil) ist die LMTD-Methode dagegen nur abschnittsweise anwendbar.
Was ist zu tun, wenn sich die Temperaturverläufe kreuzen?
Ein Temperaturkreuz (Austrittstemperatur der kalten Seite über der Austrittstemperatur der warmen Seite) ist nur mit gegenstromnahen Schaltungen erreichbar. Bei einer 1-2-Schaltung führt es zu sehr kleinen oder undefinierten F-Werten; dann müssen mehrere Apparate in Serie geschaltet oder die Bauart gewechselt werden.