Aufgabenstellung und Berechnungsziel
Das Modul SCUT legt Destillationskolonnen für Vielkomponentengemische nach der Shortcut-Methode aus. Statt einer rigorosen Boden-zu-Boden-Rechnung werden die klassischen Näherungsverfahren von Fenske, Underwood und Gilliland kombiniert: Sie liefern die Mindestzahl theoretischer Böden Nmin bei unendlichem Rückfluss, das kleinste Rückflussverhältnis Rmin bei unendlicher Bodenzahl und daraus für ein eingestelltes Rückflussverhältnis R die tatsächlich einzusetzende Anzahl theoretischer Böden N.
Die Trennaufgabe wird über die leichte und die schwere Schlüsselkomponente definiert; deren geforderte Aufteilung auf Kopf- und Sumpfprodukt bestimmt die Schärfe der Trennung. Zusätzlich geht der thermische Zustand des Zulaufs über den Molanteil der Flüssigkeit im Zulauf ein, der die Lage der Zulaufbodens und die Underwood-Auswertung beeinflusst.
Shortcut-Rechnungen dieser Art sind das Standardwerkzeug der Konzept- und Basic-Engineering-Phase: Sie liefern schnell belastbare Startwerte für Bodenzahl, Rückflussverhältnis und Energiebedarf einer Rektifikationskolonne und grenzen den Suchraum für die anschließende rigorose Simulation ein.
So läuft die Berechnung ab
- Trennaufgabe und Schlüsselkomponenten festlegen: Für das Gemisch mit seiner Anzahl der Komponenten werden leichte und schwere Schlüsselkomponente gewählt und deren geforderte Konzentrationen bzw. Wiedergewinnungsgrade in Destillat und Sumpf vorgegeben; der thermische Zustand des Zulaufs wird über den Molanteil der Flüssigkeit im Zulauf beschrieben.
- Mindestbodenzahl nach Fenske: Bei totalem Rückfluss folgt aus der Fenske-Gleichung mit der mittleren relativen Flüchtigkeit der Schlüsselkomponenten die Mindestzahl theoretischer Böden Nmin; gleichzeitig lässt sich die Verteilung der Nichtschlüsselkomponenten abschätzen.
- Mindestrückflussverhältnis nach Underwood: Die Underwood-Gleichungen liefern über den gemeinsamen Wurzelparameter das kleinste Rückflussverhältnis Rmin, das bei unendlicher Bodenzahl die Trennung gerade noch erlaubt; der Zulaufzustand geht hier direkt ein.
- Betriebspunkt wählen: Das eingestellte Rückflussverhältnis R wird als Vielfaches von Rmin gewählt – üblich sind Faktoren von etwa 1,2 bis 1,5 als Kompromiss zwischen Investitionskosten (Bodenzahl) und Energiekosten (Verdampferleistung).
- Bodenzahl nach Gilliland: Die Gilliland-Korrelation verknüpft (R − Rmin)/(R + 1) mit (N − Nmin)/(N + 1) und liefert die einzusetzende Anzahl theoretischer Böden N beim gewählten Rückflussverhältnis; ergänzend lässt sich die Lage des Zulaufbodens abschätzen.
Eingabegrößen
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Mol Anteil der 1. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Anteil der 2. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Anteil der 3. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Anteil der 4. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Anteil der 5. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Anteil der 6. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Anteil der 7. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Antiel der 8. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Anteil der 9. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Anteil der 10. Komponente im Zulauf | Zulauf | – |
| Mol Anteil der 1. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 2. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 3. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 4. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 5. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 6. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 7. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 8. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 9. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 10. Komponente im Kopf | Kopf | – |
| Mol Anteil der 1. Komponente im Sumpf | Sumpf | – |
| Mol Anteil der 2. Komponente im Sumpf | Sumpf | – |
| Mol Anteil der 3. Komponente im Sumpf | Sumpf | – |
| Mol Anteil der 4. Komponente im Sumpf | Sumpf | – |
Gelöstes Beispiel
Ein äquimolares Zweistoffgemisch (50 Mol-% Leichtsieder) soll bei siedendem Zulauf so getrennt werden, dass Destillat und Sumpf jeweils 95 Mol-% Reinheit erreichen. Die mittlere relative Flüchtigkeit beträgt α = 2,5. Gesucht sind Nmin, Rmin und die theoretische Bodenzahl N bei R = 1,3 · Rmin.
Gegebene Werte
| Zulaufkonzentration Leichtsieder x_F | 0,50 |
| Destillat x_D | 0,95 |
| Sumpf x_B | 0,05 |
| Mittlere relative Flüchtigkeit α | 2,5 |
| Zulaufzustand | siedende Flüssigkeit (q = 1) |
| Rückflussverhältnis R | 1,3 · Rmin |
Lösungsweg
Mindestbodenzahl nach Fenske
Nmin = ln[(xD/(1 − xD)) · ((1 − xB)/xB)] / ln α
Nmin = ln[(0,95/0,05) · (0,95/0,05)] / ln 2,5 = ln 361 / ln 2,5 = 5,889 / 0,916 = 6,43 theoretische Stufen (einschließlich Verdampfer)
Mindestrückflussverhältnis nach Underwood
Für ein binäres Gemisch mit siedendem Zulauf (q = 1) gilt:
Rmin = 1/(α − 1) · [xD/xF − α · (1 − xD)/(1 − xF)]
Rmin = 1/1,5 · [0,95/0,50 − 2,5 · 0,05/0,50] = 1/1,5 · (1,90 − 0,25) = 1,10
Betriebsrückflussverhältnis und Gilliland-Parameter
R = 1,3 · Rmin = 1,3 · 1,10 = 1,43
X = (R − Rmin)/(R + 1) = (1,43 − 1,10)/(1,43 + 1) = 0,33/2,43 = 0,136
Bodenzahl nach Gilliland (Molokanov-Gleichung)
Y = 1 − exp[ (1 + 54,4 X)/(11 + 117,2 X) · (X − 1)/√X ] = 1 − exp(−0,7307) = 0,518
Mit Y = (N − Nmin)/(N + 1) folgt:
N = (Y + Nmin)/(1 − Y) = (0,518 + 6,43)/(1 − 0,518) = 14,4 theoretische Stufen
Praktisch werden also rund 15 theoretische Stufen (einschließlich Verdampfer) eingesetzt.
Ergebnis
| Mindestbodenzahl Nmin (Fenske) | 6,43 |
| Mindestrückflussverhältnis Rmin (Underwood) | 1,10 |
| Eingestelltes Rückflussverhältnis R | 1,43 |
| Theoretische Stufenzahl N (Gilliland) | ≈ 14,4 → 15 Stufen |
Alle Werte sind beispielhaft. Maßgeblich sind das jeweils gültige Regelwerk und die projektspezifischen Randbedingungen.
Häufige Fragen
Was sind Schlüsselkomponenten und wie wählt man sie?
Die leichte Schlüsselkomponente ist die schwerste Komponente, die überwiegend ins Kopfprodukt gehen soll; die schwere Schlüsselkomponente die leichteste, die überwiegend im Sumpf verbleiben soll. Zwischen beiden verläuft der Trennschnitt. Komponenten deutlich leichter bzw. schwerer als die Schlüssel verteilen sich fast vollständig auf Kopf bzw. Sumpf; ihre Verteilung folgt aus der Fenske-Abschätzung.
Wie genau ist die Shortcut-Methode im Vergleich zur rigorosen Simulation?
Für nahezu ideale Gemische mit annähernd konstanter relativer Flüchtigkeit liegt die Bodenzahl typischerweise innerhalb weniger Böden am rigorosen Ergebnis. Bei stark realen Systemen, temperaturabhängiger Flüchtigkeit, Azeotropen oder Seitenabzügen versagt der Ansatz konzeptionell – dann dient das Shortcut-Ergebnis nur als Startschätzung für die rigorose Boden-zu-Boden-Rechnung.
Warum wählt man R deutlich größer als Rmin?
Bei R = Rmin wäre eine unendliche Bodenzahl nötig, nahe Rmin wächst die Bodenzahl extrem steil. Mit steigendem R sinkt die Bodenzahl, aber Verdampfer- und Kondensatorleistung steigen proportional zu (R + 1). Das wirtschaftliche Optimum liegt erfahrungsgemäß bei etwa 1,2- bis 1,5-fachem Mindestrückflussverhältnis; das Modul macht diesen Zielkonflikt über die Gegenüberstellung von Rmin, R, Nmin und N direkt sichtbar.
Zählt der Verdampfer als theoretischer Boden?
Ja, der Sumpfverdampfer wirkt als Gleichgewichtsstufe und ist in der nach Fenske/Gilliland ermittelten Stufenzahl enthalten; ein Totalkondensator dagegen nicht. Beim Übergang zur realen Kolonne ist die theoretische Bodenzahl zusätzlich über das Bodenverstärkungsverhältnis bzw. den HETP-Wert einer Packung in praktische Böden oder Packungshöhe umzurechnen.