Aufgabenstellung und Berechnungsziel
Das Modul berechnet den Wärmetransport durch freie Konvektion in geschlossenen Fluidschichten nach dem VDI-Wärmeatlas (12. Auflage 2019): in horizontalen, geneigten und vertikalen Spalten zwischen einer beheizten und einer gekühlten Fläche, in horizontalen und vertikalen Ringspalten sowie in porösen Schichten. Zusätzlich wird der Strahlungsaustausch zwischen den begrenzenden Flächen über die Strahlungsaustauschzahl erfasst, sodass der Gesamtwärmestrom aus Leitung, Konvektion und Strahlung vorliegt.
Den Wärmeübergang in geschlossenen Schichten berechnen muss man bei Doppelwänden und Doppelmänteln von Apparaten, bei Luftspalten in Isolierverglasungen und Kollektoren, bei Ringspalten zwischen Rohr und Hüllrohr oder bei gasgefüllten Zwischenräumen in Behältern. Anders als an frei umströmten Flächen bildet sich im geschlossenen Spalt eine Zirkulationsströmung aus, deren Einsetzen und Intensität von der Rayleigh-Zahl, dem Neigungswinkel und der Beheizungsrichtung abhängt.
Das Ergebnis wird zweckmäßig als Nusselt-Zahl bezogen auf die reine Wärmeleitung durch die Schicht ausgedrückt: Nu = 1 bedeutet, dass keine Konvektion einsetzt und der Spalt wie eine ruhende Leitschicht wirkt – die Grundlage jeder Spaltdimensionierung mit dem Ziel minimaler Verluste.
Regelwerk und Berechnungsbasis: VDI-Wärmeatlas, 12. Auflage 2019
Berechnungsumfang
- Grundlegende Beziehungen
- Schichten (horizontal, geneigt oder vertikal)
- Ringspalte (horizontal oder vertikal)
- Poröse Schichten
So läuft die Berechnung ab
- Anordnung festlegen: Gewählt wird die Konfiguration: horizontale, geneigte oder vertikale Schicht, horizontaler oder vertikaler Ringspalt oder poröse Schicht. Dazu kommen die Schichtdicke als charakteristische Länge, die beheizte Fläche und die Orientierung der Beheizung (von unten, von oben, seitlich).
- Temperaturen und Stoffwerte auswerten: Aus der Temperatur an der beheizten und der gekühlten Fläche wird die Temperaturdifferenz gebildet; die Stoffwerte des Fluids (Dichte, Wärmekapazität, Viskosität, Wärmeleitfähigkeit, Temperaturleitfähigkeit, Ausdehnungskoeffizient) werden bei der mittleren Temperatur der Schicht ausgewertet.
- Kennzahlen bilden: Mit Erdbeschleunigung, Ausdehnungskoeffizient, Temperaturdifferenz und Schichtdicke werden Grashof- und Rayleigh-Zahl gebildet, ergänzt um die Prandtl-Zahl. Die Rayleigh-Zahl entscheidet, ob die Schichtung stabil bleibt oder Konvektionszellen einsetzen.
- Nusselt-Zahl der Schicht bestimmen: Mit der Korrelation der jeweiligen Anordnung wird die Nusselt-Zahl berechnet – bei von unten beheizten horizontalen Schichten erst oberhalb der kritischen Rayleigh-Zahl größer als eins, bei vertikalen Schichten zusätzlich abhängig vom Höhen-zu-Dicken-Verhältnis. Daraus folgen der Wärmeübergangskoeffizient und der Wärmestrom aus Leitung und Konvektion.
- Strahlung überlagern und Gesamtwärmestrom bilden: Parallel wird der Strahlungswärmestrom aus der Strahlungsaustauschzahl der beiden Flächen und der Differenz der vierten Potenzen der absoluten Temperaturen berechnet. Die Summe ergibt den Gesamtwärmestrom; als Vergleichsgröße liefert das Modul den äquivalenten Wärmeübergangskoeffizienten der Schicht.
Eingabegrößen
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Äußerer Radius | ra | m |
| Innerer Radius | ri | m |
| Spaltlänge | h | m |
| Schichtdicke | s | m |
| Höhe der Schicht | h | m |
| Neigungswinkel gegen die Vertikale | Θ | ° |
| Neigungswinkel gegen die Horizontale | Θ' | ° |
| Anzahl der Unterteilungen | N | - |
| Beheizte Fläche | A | m² |
| Emissionsgrad der beheizten Fläche (Ka) | ε1 | - |
| Emissionsgrad der gekühlten Fläche (Ka) | ε2 | - |
| Partikeldurchmesser | d | m |
| Gesamtvolumen | Vg | m³ |
| Zwischenraumvolumen | Vz | m³ |
| Porosität | ψ (20) | - |
| Durchlässigkeit | K (21) | m² |
| Erdbeschleunigung | g | m/s² |
| Temperatur an der beheizten Fläche | ϑ1 | °C |
| Temperatur an der gekühlten Fläche | ϑ2 | °C |
| Temperaturdifferenz (ϑ1 - ϑ2) | Δϑ | K (diff) |
| Temperaturdifferenz (T14 - T24) | ΔT | K^4 |
| Mittlere Temperatur | ϑm | °C |
| Dichte | ρ | kg/m³ |
| Spezifische Wärmekapazität | cp | J/(kg·K) |
Häufige Fragen
Wann bleibt eine Fluidschicht rein leitend, ohne dass Konvektion einsetzt?
Bei einer von unten beheizten horizontalen Schicht setzt Konvektion erst oberhalb der kritischen Rayleigh-Zahl von etwa 1708 ein (Rayleigh-Bénard-Instabilität); darunter gilt Nu = 1. Eine von oben beheizte horizontale Schicht ist stabil geschichtet und bleibt stets rein leitend. In vertikalen Spalten gibt es keine scharfe Schwelle, aber bei kleinen Rayleigh-Zahlen dominiert ebenfalls die Leitung. Dünne Spalte sind deshalb wirksame Dämmschichten.
Warum ist die optimale Spaltdicke begrenzt – hilft ein breiterer Luftspalt nicht immer?
Mit wachsender Dicke sinkt zunächst der Leitungsanteil (größerer Leitweg). Gleichzeitig wächst aber die Rayleigh-Zahl mit der dritten Potenz der Schichtdicke, sodass ab einer bestimmten Dicke Konvektion einsetzt und den Wärmetransport wieder erhöht. Es gibt daher eine optimale Spaltdicke – bei Luftspalten unter üblichen Bedingungen in der Größenordnung von ein bis zwei Zentimetern –, oberhalb derer ein breiterer Spalt kaum noch oder negativ wirkt.
Wie groß ist der Strahlungsanteil im Spalt und wie lässt er sich senken?
Zwischen Flächen üblicher Emissionsgrade (0,8 bis 0,95) ist der Strahlungsanteil in gasgefüllten Spalten bei moderaten Temperaturen oft gleich groß oder größer als der Konvektionsanteil. Er lässt sich durch niedrig emittierende Oberflächen (blanke Metallfolien, Low-E-Beschichtungen) drastisch reduzieren, was die Strahlungsaustauschzahl direkt verkleinert – das bekannteste Beispiel sind beschichtete Isolierverglasungen.
Was ist bei porösen Schichten anders als beim freien Spalt?
In einer porösen Schicht (z. B. Schüttung oder Faserdämmstoff im Spalt) wird die Strömung durch den Durchströmungswiderstand der Matrix gebremst; maßgebend ist die modifizierte Rayleigh-Zahl mit der Permeabilität, und die Basisleitfähigkeit ist die effektive Leitfähigkeit des durchtränkten Materials. Konvektion setzt deutlich später ein als im freien Spalt – deshalb unterdrücken Faserdämmstoffe die Konvektion in Dämmpaketen so wirksam.