Aufgabenstellung und Berechnungsziel
Das Modul stellt die grundlegenden Berechnungsmethoden für Wärmeübertrager nach VDI-Wärmeatlas, Kapitel C1 (12. Auflage 2019) bereit. Es verknüpft die Wärmebilanz beider Stoffströme mit der Übertragungsgleichung Q = k·A·ΔTm und beantwortet die beiden Standardfragen der Praxis: Welche Übertragungsfläche braucht eine geforderte Leistung (Auslegungsrechnung), und welche Austrittstemperaturen liefert ein vorhandener Apparat (Nachrechnung)?
Dazu stehen die klassischen Verfahren zur Verfügung: die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz mit Korrekturfaktor F für die tatsächliche Stromführung sowie die dimensionslose Betriebscharakteristik (NTU-Methode) mit Übertragungsfähigkeit und Wärmekapazitätsstromverhältnis. Abgedeckt werden Rein-Gegenstrom und Gleichstrom ebenso wie Rohrbündelapparate mit mehreren rohr- und mantelseitigen Durchgängen, Umlenkblechen, Kreuzstromkonfigurationen, Plattenwärmeübertrager und Rührbehälter mit Heiz- oder Kühleinrichtung.
Gebraucht wird das Modul in der verfahrenstechnischen Auslegung ebenso wie im Betrieb: bei der Vorauslegung neuer Apparate, beim Nachrechnen von Bestandswärmetauschern nach einer Betriebsänderung oder bei der Bewertung von Leistungseinbußen durch Verschmutzung. Der Wärmedurchgangskoeffizient k selbst wird im Begleitkapitel C2 ermittelt.
Regelwerk und Berechnungsbasis: VDI-Wärmeatlas, 12. Auflage 2019
So läuft die Berechnung ab
- Wärmebilanz aufstellen: Aus Massenströmen, spezifischen Wärmekapazitäten und Ein-/Austrittstemperaturen beider Ströme wird der übertragene Wärmestrom bilanziert. Bei der Auslegung sind drei der vier Temperaturen vorgegeben, die vierte folgt aus der Bilanz; bei der Nachrechnung sind beide Austrittstemperaturen unbekannt.
- Stromführung festlegen: Gegenstrom, Gleichstrom, Kreuzstrom oder Mischformen (z. B. Rohrbündel mit einem mantelseitigen und zwei rohrseitigen Durchgängen) bestimmen, wie effektiv das treibende Temperaturgefälle genutzt wird. Für jede Stromführung liefert der VDI-Wärmeatlas den Korrekturfaktor F bzw. die zugehörige Betriebscharakteristik.
- Mittlere Temperaturdifferenz bzw. NTU bestimmen: Beim LMTD-Verfahren wird aus den Temperaturdifferenzen an beiden Apparatenden die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz gebildet und mit F korrigiert. Bei der NTU-Methode werden Wärmekapazitätsstromverhältnis und Übertragungsfähigkeit NTU = k·A/Ẇ gebildet und daraus die dimensionslose Temperaturänderung der Ströme berechnet.
- Fläche oder Leistung berechnen: Auslegung: Aus Q, k und der korrigierten mittleren Temperaturdifferenz folgt die erforderliche Übertragungsfläche A. Nachrechnung: Aus vorhandener Fläche und k folgen über die Betriebscharakteristik die Austrittstemperaturen und die tatsächliche Leistung des Apparats.
- Ergebnis prüfen: Plausibilitätskontrollen schließen die Rechnung ab: keine Temperaturkreuzung bei der gewählten Stromführung, Korrekturfaktor F nicht zu klein (sonst andere Schaltung wählen) und ausreichende Reserven für Verschmutzung über die in k enthaltenen Foulingwiderstände.
Eingabegrößen
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Temperatur t_1' | ϑ'1 | °C |
| Temperatur t_2' | ϑ'2 | °C |
| Temperatur t_1'' | ϑ'1 | °C |
| Temperatur t_2'' | ϑ''2 | °C |
| Massenstrom M_1 | Ṁ1 | kg/s |
| Massenstrom M_2 | Ṁ2 | kg/s |
| spezifische Wärmekapazität c_pm1 | cpm1 | J/(kg·K) |
| spezifische Wärmekapazität c_pm2 | cpm2 | J/(kg·K) |
| Wärmekapazitätsstrom W_1 | Ẇ1 | W/K |
| Wärmekapazitätsstrom W_2 | Ẇ2 | W/K |
| NTU-Verhältnis | ε | - |
| Rohrreihen | n | - |
| Temperatur des Heiz-/Kühlmediums (Eintritt) | ϑ' | °C |
| Temperatur des zu heizenden/kühlenden Mediums | ϑs | °C |
| Massenstrom (Heiz-/Kühlmedium) | Ṁ | kg/s |
| Spezifische Wärmekapazität (Heiz-/Kühlmedium) | cpm | J/(kg·K) |
| Wärmekapazitätsstrom (Heiz-/Kühlmedium) | Ẇ | W/K |
| Produkt (k∙A) Innenrohr (Heiz-/Kühlmedium) | (k∙A)i | W/K |
| Produkt (k∙A) Außenrohr (Heiz-/Kühlmedium) | (k∙A)a | W/K |
| dim.lose Temperaturänderung P | P = f(NTU) = | - |
| Durchgänge | n | - |
| Bezeichnung des Apparates | Apparates | - |
| Bauform | Bauform | - |
Berechnungsergebnisse
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Wärmedurchgangskoeffizient k | k = A = (k∙A) = | W/(m²·K) |
| Fläche A | k = A = (k∙A) = | m² |
| Produkt (k * A) | k = A = (k∙A) = | W/K |
| Wärmestrom Q | Q̇ = F = Θ = | W |
| dim.-lose Temperaturdifferenz Theta | Q̇ = F = Θ = | - |
| Korrekturfaktor F | Q̇ = F = Θ = | - |
| Temperatur des Rohrstroms zwischen den Durchgängen | ϑ2z' | °C |
| Temperatur des Rohrstroms zwischen den Durchgängen | ϑ2z'' | °C |
| Anzahl Übertragungseinheiten NTU | NTU = P = ϑ'' = | - |
| dim.lose Temperaturänderung P | P = f(NTU) = | - |
| Temperatur t'' | NTU = P = ϑ'' = | °C |
| Korrekturfaktor F_n | Q̇ = F = Fn = | - |
Gelöstes Beispiel
Ein Ölkühler soll im Rein-Gegenstrom Warmwasser von 90 °C auf 50 °C abkühlen; als Kühlmedium wird Wasser mit 2,0 kg/s von 20 °C auf 40 °C erwärmt. Der Wärmedurchgangskoeffizient wird mit k = 800 W/(m²·K) angesetzt. Gesucht sind Wärmestrom, mittlere logarithmische Temperaturdifferenz und erforderliche Übertragungsfläche.
Gegebene Werte
| Eintritt/Austritt warmer Strom | 90 °C / 50 °C |
| Eintritt/Austritt kalter Strom | 20 °C / 40 °C |
| Massenstrom kalter Strom | 2,0 kg/s |
| Spezifische Wärmekapazität Wasser | 4,19 kJ/(kg·K) |
| Wärmedurchgangskoeffizient k | 800 W/(m²·K) |
| Stromführung | Rein-Gegenstrom (F = 1) |
Lösungsweg
Wärmestrom aus der Bilanz des kalten Stroms
Q = ṁ · cp · (Taus − Tein) = 2,0 kg/s · 4,19 kJ/(kg·K) · (40 − 20) K = 167,6 kW
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
Im Gegenstrom gilt an den Apparatenden: ΔT1 = 90 − 40 = 50 K und ΔT2 = 50 − 20 = 30 K.
ΔTm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1/ΔT2) = (50 − 30) / ln(50/30) = 20 / 0,5108 = 39,15 K
Erforderliche Übertragungsfläche
A = Q / (k · ΔTm) = 167 600 W / (800 W/(m²·K) · 39,15 K) = 5,35 m²
In der Praxis wird die Fläche mit einer Reserve für Verschmutzung ausgeführt, sofern die Foulingwiderstände nicht bereits im k-Wert enthalten sind.
Ergebnis
| Wärmestrom Q | 167,6 kW |
| Mittlere log. Temperaturdifferenz | 39,15 K |
| Erforderliche Fläche A | 5,35 m² |
Alle Werte sind beispielhaft. Maßgeblich sind das jeweils gültige Regelwerk und die projektspezifischen Randbedingungen.
Häufige Fragen
Wann ist die NTU-Methode dem LMTD-Verfahren vorzuziehen?
Bei der Nachrechnung eines vorhandenen Apparats sind beide Austrittstemperaturen unbekannt — das LMTD-Verfahren müsste dann iterieren, während die NTU-Methode die Austrittstemperaturen direkt aus NTU und Wärmekapazitätsstromverhältnis liefert. Für die Auslegung mit bekannten Temperaturen ist das LMTD-Verfahren dagegen der kürzere Weg. Beide Methoden sind mathematisch äquivalent.
Was bedeutet eine Temperaturkreuzung und wann ist sie zulässig?
Von Temperaturkreuzung spricht man, wenn die Austrittstemperatur des kalten Stroms über der Austrittstemperatur des warmen Stroms liegt. Im Rein-Gegenstrom ist das problemlos möglich, im Gleichstrom prinzipiell nicht. Bei Mischformen wie dem 1-2-Rohrbündel zeigt ein stark abfallender Korrekturfaktor F an, dass die gewünschte Kreuzung mit dieser Schaltung nicht wirtschaftlich erreichbar ist — dann sind mehrere Apparate in Serie oder eine gegenstromnähere Schaltung nötig.
Welcher Korrekturfaktor F gilt noch als akzeptabel?
Als Faustregel sollte F nicht unter etwa 0,75 bis 0,8 liegen. Kleinere Werte bedeuten nicht nur schlechte Flächennutzung, sondern auch einen steilen Gradienten der F-Kurve: Kleine Abweichungen der Betriebstemperaturen führen dann zu großen Leistungsänderungen, die Auslegung wird unrobust. In solchen Fällen ist eine andere Stromführung oder Serienschaltung die bessere Lösung.
Wie gehen Sonderfälle wie Verdampfung oder Kondensation ein?
Bei isothermer Phasenänderung eines Stroms ist dessen Wärmekapazitätsstrom formal unendlich; das Wärmekapazitätsstromverhältnis wird null, und alle Stromführungen verhalten sich gleich — die Betriebscharakteristik vereinfacht sich entsprechend. Bei Teilkondensation oder temperaturabhängigen Stoffwerten muss der Apparat abschnittsweise (Zellenmethode) gerechnet werden.