Aufgabenstellung und Berechnungsziel
Das Modul L2.4 berechnet kritische Massenströme durch Düsen, Ventile und Rohreinbauten nach dem VDI-Wärmeatlas, 12. Auflage 2019. Kritische (gesperrte) Strömung liegt vor, wenn das Fluid im engsten Querschnitt die Schallgeschwindigkeit erreicht: Der Massenstrom steigt dann bei weiterer Absenkung des Gegendrucks nicht mehr an. Diese Grenze bestimmt den maximal möglichen Durchsatz einer Engstelle und ist damit eine zentrale Größe der Sicherheitstechnik.
In der Praxis braucht man die Berechnung des kritischen Massenstroms vor allem bei der Auslegung von Sicherheitsventilen, Berstscheiben und Abblaseleitungen, bei der Leckraten- und Störfallbetrachtung (Behälterentleerung über ein Loch oder eine abgerissene Leitung) sowie bei Drosselorganen in Dampf- und Kältesystemen. Besonders anspruchsvoll sind Zweiphasenströmungen: Entspannt eine unterkühlte oder siedende Flüssigkeit über die Engstelle, verdampft sie teilweise (Flashing), und der kritische Massenstrom liegt weit unter dem einer reinen Flüssigkeitsströmung.
Das Modul stellt Berechnungsansätze verschiedener Autoren bereit, die sich in ihren Annahmen unterscheiden – Einphasen- oder Zweiphasenströmung, thermodynamisches Gleichgewicht oder verzögerte Verdampfung, homogenes oder schlupfbehaftetes Gemisch, unterkühlter, siedender oder überhitzter Eintrittszustand. Vollständige Stoffdaten des Fluids sind Voraussetzung für die Berechnung.
Regelwerk und Berechnungsbasis: VDI-Wärmeatlas, 12. Auflage 2019
So läuft die Berechnung ab
- Eintrittszustand und Geometrie definieren: Festgelegt werden Ruhedruck und Temperatur bzw. Dampfgehalt am Eintritt sowie der engste Strömungsquerschnitt der Düse, des Ventils oder des Rohreinbauteils. Entscheidend ist die korrekte Einordnung des Eintrittszustands: unterkühlte Flüssigkeit, siedendes Zweiphasengemisch oder überhitzter Dampf.
- Stoffdaten bereitstellen: Für die Entspannungsrechnung werden Dichten von Gas- und Flüssigphase, Verdampfungsenthalpie, Dampfdruckkurve und Wärmekapazitäten benötigt. Ohne konsistente Stoffdaten entlang der Entspannung ist keine belastbare Berechnung des kritischen Massenstroms möglich.
- Berechnungsmodell wählen: Je nach Strömungsform wird ein Autorenmodell gewählt: isentrope Düsenströmung für einphasige Gase und Dämpfe, homogene Gleichgewichtsmodelle (HEM) für Zweiphasengemische im Gleichgewicht oder Ansätze mit verzögerter Verdampfung bzw. Schlupf für kurze Düsen und unterkühlten Eintritt. Die Modelle unterscheiden sich vor allem darin, wie schnell das Fluid dem Druckabfall thermodynamisch folgen kann.
- Kritischen Zustand im engsten Querschnitt suchen: Entlang der Entspannung vom Ruhezustand wird die Massenstromdichte als Funktion des Drucks im engsten Querschnitt ausgewertet; ihr Maximum definiert den kritischen Druck und die kritische Massenstromdichte. Bei idealen Gasen führt dies auf das bekannte kritische Druckverhältnis, bei Zweiphasenströmung erfolgt die Maximumsuche numerisch.
- Kritischen Massenstrom und Durchflussminderung bestimmen: Aus kritischer Massenstromdichte und engstem Querschnitt folgt der maximale Massenstrom; reale Kontraktion und Reibung werden über eine Ausflussziffer berücksichtigt. Der Vergleich der Autorenmodelle zeigt die Bandbreite der Vorhersage und stützt eine konservative Auslegung.
Eingabegrößen
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Massenstrom in einer Düse | Qm,D | kg/s |
| Durchmesser der Düse des engsten Strömungsquerschnitts (Düsenhals) | dth | m |
| Durchmesser des Sicherheitsventils am Eintritt | d0 | m |
| Querschittsfläche des engsten Strömungsquerschnitts | Ath | m² |
| Spezifisches Volumen im engsten Strömungsquerschnitts der Düse | νth | m³/kg |
| Erdbeschleunigung | g | m/s² |
| Winkel aus der Horizontalen | θ | ° |
| Verlustbeiwert bezogen auf den Referenzzustand | ζv,ref | - |
| Druck am Eintritt | p0 | Pa |
| Gegendruck | pb | Pa |
| Temperatur am Eintritt in die Düse | T0 | K |
| Spezifisches Volumen des Gemisches am Eintritt der Düse | v0 | m³/kg |
| Dimensionsloses spezifisches Volumen: Spezifisches Volumen im engsten Strömungsquerschnitt bezogen auf das spezifische Volumen am Eintritt | v*th | - |
| Druckverhältnis am Eintritt der Düse | ηth | - |
| Druckverhältnis von Gegendruck zu Druck am Eintritt | ηb | - |
| Druckverhältnis im Eintrittquerschnitt | ηin | - |
| Dimensionsloser Massenstrom | C | - |
| Isentropenexponent | κ | - |
| Strömungsmassengehalt | ẋ | - |
| Spezifisches Volumen des Gases | vg | m³/kg |
| Spezifisches Volumen der Flüssigkeit | vl | m³/kg |
| Kompressiblilitätsfaktor | ω | - |
| Berechnung nach: | Literatur | – |
| Kompressibilitätsfaktor für ein Dampf- / Flüssigkeitsgemisch im thermodynamischen Gleichgewicht N=1 | ωN=1 | - |
Berechnungsoptionen
Berechnung nach:
4.1.1 Leung (HEM) · 4.1.2 Henry und Fauske · 4.1.3 Darby · 4.1.4 Diener Schmidt (HNE-DS) · 4.1.5 API 520 (2-Punkt-ω-Methode) · 4.1.6 Schmidt (HNE-DS) · 4.1.7 Schmidt Claramunt (HNE-CSE)
Verdampfung oder Kondensation
Verdampfung · Kondensation
Autor für Konstanten des Zweiphasenmultiplikators
Chrisholm · Lockhart Martinelli · 2
Gelöstes Beispiel
Als einphasiger Grenzfall wird der kritische Massenstrom von Luft durch eine ideale Düse berechnet. Luft strömt aus einem Behälter mit 10 bar (abs) und 20 °C durch eine Düse mit engstem Querschnitt 100 mm². Der Gegendruck ist Atmosphärendruck, die Strömung damit sicher überkritisch. Gesucht ist der maximale (kritische) Massenstrom bei isentroper Strömung (Ausflussziffer 1).
Gegebene Werte
| Ruhedruck p0 | 10 bar (abs) |
| Ruhetemperatur T0 | 20 °C = 293,15 K |
| Engster Querschnitt A | 100 mm² = 1,0·10⁻⁴ m² |
| Isentropenexponent κ (Luft) | 1,4 |
| Spezifische Gaskonstante R (Luft) | 287,1 J/(kg·K) |
Lösungsweg
Kritisches Druckverhältnis prüfen
p*/p0 = (2/(κ+1))κ/(κ−1) = (2/2,4)3,5 = 0,528
Kritischer Druck im engsten Querschnitt: p* = 0,528 · 10 bar = 5,28 bar. Der Gegendruck von 1 bar liegt weit darunter – die Düse ist gesperrt, es herrscht kritische Strömung.
Kritische Massenstromdichte
Für isentrope Strömung eines idealen Gases gilt im Sperrzustand:
ṁ/A = p0 · √(κ/(R·T0)) · (2/(κ+1))(κ+1)/(2(κ−1))
Zahlenwerte: √(κ/(R·T0)) = √(1,4/(287,1 · 293,15)) = 4,078·10⁻³ s/m
(2/2,4)3,0 = 0,5787
ṁ/A = 10·10⁵ Pa · 4,078·10⁻³ s/m · 0,5787 = 2 360 kg/(m²·s)
Kritischer Massenstrom
ṁ = 2 360 kg/(m²·s) · 1,0·10⁻⁴ m² = 0,236 kg/s ≈ 850 kg/h
Eine weitere Absenkung des Gegendrucks unter 5,28 bar erhöht den Massenstrom nicht mehr – die Düse ist die durchsatzbegrenzende Engstelle.
Ergebnis
| Kritisches Druckverhältnis p*/p0 | 0,528 |
| Kritische Massenstromdichte | 2 360 kg/(m²·s) |
| Kritischer Massenstrom ṁ | 0,236 kg/s ≈ 850 kg/h |
Alle Werte sind beispielhaft. Maßgeblich sind das jeweils gültige Regelwerk und die projektspezifischen Randbedingungen.
Häufige Fragen
Woran erkenne ich, ob eine Strömung kritisch ist?
Kritische Strömung liegt vor, wenn das Druckverhältnis aus Gegendruck und Ruhedruck das kritische Druckverhältnis unterschreitet. Für ideale Gase liegt es bei (2/(κ+1))^(κ/(κ−1)) – für Luft etwa 0,528, das heißt bei Gegendrücken unterhalb von rund 53 % des Vordrucks ist die Düse gesperrt. Bei Zweiphasenströmung ist das kritische Druckverhältnis modellabhängig und muss aus der Maximumsbedingung der Massenstromdichte bestimmt werden.
Warum liefern die verschiedenen Autorenmodelle unterschiedliche kritische Massenströme?
Die Modelle unterscheiden sich in den Annahmen zum thermodynamischen und mechanischen Gleichgewicht: Das homogene Gleichgewichtsmodell unterstellt vollständige, sofortige Verdampfung und gleiche Phasengeschwindigkeiten und liefert bei kurzen Düsen mit unterkühltem Eintritt oft zu niedrige Massenströme, weil die reale Verdampfung verzögert einsetzt. Nichtgleichgewichts- und Schlupfmodelle korrigieren das. Die Streuung zwischen den Modellen ist ein realistisches Maß für die Vorhersageunsicherheit.
Warum ist der kritische Massenstrom eines Zweiphasengemischs so viel kleiner als der einer Flüssigkeit?
Schon geringe Dampfanteile senken die Dichte und vor allem die Schallgeschwindigkeit des Gemischs drastisch – die Schallgeschwindigkeit eines Wasser-Dampf-Gemischs kann weit unter der beider Einzelphasen liegen. Dadurch wird die Sperrbedingung schon bei kleinen Geschwindigkeiten erreicht. Wer eine flashende Flüssigkeit wie eine inkompressible Strömung nach Bernoulli rechnet, überschätzt den Durchsatz erheblich – bei Sicherheitsventilen eine gefährliche Fehleinschätzung.
Welche Rolle spielt die Länge der Engstelle?
Bei sehr kurzen Düsen und Blenden bleibt der Flüssigkeit kaum Verweilzeit zum Verdampfen; die Strömung verhält sich näherungsweise wie eine Flüssigkeitsströmung mit hohem Massenstrom (Nichtgleichgewicht). Mit zunehmender Länge stellt sich das thermodynamische Gleichgewicht ein und der Massenstrom nähert sich dem HEM-Wert. Deshalb ist die Bauform – Düse, Ventil oder langes Rohreinbauteil – ein zentrales Auswahlkriterium für das Berechnungsmodell.