Aufgabenstellung und Berechnungsziel
Das Modul berechnet die Wärmeübertragung und Strömung in verdünnten Gasen nach dem VDI-Wärmeatlas (12. Auflage 2019). Bei sehr niedrigen Drücken oder sehr kleinen Spaltweiten ist die mittlere freie Weglänge der Gasmoleküle nicht mehr klein gegenüber der charakteristischen Abmessung des Systems: Die Kontinuumsmechanik verliert ihre Gültigkeit, und der Wärmetransport muss über die freie Molekülbewegung bzw. den Übergangsbereich beschrieben werden. Betrachtet werden die klassischen Geometrien ebene parallele Platten, konzentrische Zylinder und konzentrische Kugeln im stationären Zustand.
In der Praxis braucht man diese Berechnung überall dort, wo Vakuum als Wärmedämmung wirkt oder wirken soll: bei vakuumisolierten Behältern und Rohrleitungen für tiefkalte Medien (LNG, Flüssigstickstoff), bei Dewargefäßen, Vakuumpaneelen und Thermoskannen, aber auch bei der Abschätzung von Wärmeverlusten in Vakuumanlagen und bei Messsystemen wie Wärmeleitungs-Vakuummetern. Wer den Wärmestrom in verdünnten Gasen berechnen will, benötigt neben Temperatur und individueller Gaskonstante des Gases vor allem den Akkommodationskoeffizienten, der die Energieübertragung beim Stoß der Moleküle mit der Wand beschreibt.
Regelwerk und Berechnungsbasis: VDI-Wärmeatlas, 12. Auflage 2019
So läuft die Berechnung ab
- Geometrie und Randbedingungen festlegen: Zunächst wird die Anordnung gewählt: parallele Platten, konzentrische Zylinder oder konzentrische Kugeln. Dazu gehören die Abmessungen (Spaltweite bzw. Durchmesser) und die Oberflächentemperaturen der beiden Wände.
- Gasdaten bereitstellen: Für das Füllgas werden Temperatur, individuelle Gaskonstante und die molekularen Kenngrößen (Isentropenexponent, Molekülstruktur) benötigt, da sie die transportierte Energie pro Molekülstoß bestimmen.
- Druckbereich bzw. Verdünnungsgrad beurteilen: Über das Verhältnis von mittlerer freier Weglänge zur charakteristischen Abmessung (Knudsen-Zahl) wird geprüft, ob Kontinuum, Übergangsgebiet oder freie Molekülströmung vorliegt. Davon hängt ab, welche Beziehung des VDI-Wärmeatlas maßgebend ist.
- Akkommodationskoeffizienten festlegen: Der Akkommodationskoeffizient beschreibt, wie vollständig die Gasmoleküle beim Wandstoß die Wandtemperatur annehmen. Er hängt von Gasart, Wandwerkstoff und Oberflächenzustand ab und geht direkt in die Wärmestromdichte ein.
- Wärmestromdichte berechnen und bewerten: Das Modul ermittelt die Wärmestromdichte bei freier Molekülbewegung und stellt sie dem Kontinuumswert gegenüber. Daraus lässt sich ablesen, wie weit der Druck abgesenkt werden muss, damit die Vakuumisolierung ihre volle Wirkung erreicht.
Eingabegrößen
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Dynamische Viskosität | η | Pa·s |
| Dichte | ρ | kg/m³ |
| Arithm. Mittelwert molekulare Geschwindigkeit | cm | m/s |
| Temperatur | T | K |
| Knudsen Zahl | Kn | – |
| Korrekturfaktor | f | – |
| Akkommodationskoeffizient | γ | – |
| Temperaturleitfähigkeit | a | m²/s |
| Prandtl-Zahl | Prandtl Pr | – |
| Isentropenexponent | κ | – |
| Druck | p | Pa |
| Mittlere Strömungsgeschwindigkeit | u | m/s |
| Plattenabstand | s | m |
| Wärmestromdichte | q | W/m² |
| Wärmestromdichte Kontinuum | qkont | W/m² |
| Wärmeleitfähigkeit | λ | W/(m·K) |
| Temperatur 1 | T1 | K |
| Temperatur 2 | T2 | K |
| Spezifische Wärmekapazität konst. Druck | cp | J/(kg·K) |
| Länge Heizdraht | L | m |
| Wärmestrom Kontinuum | Qkont | W |
| Heizleistung | Qh | W |
| Wärmestrom durch Strahlung | Qs | W |
| Arithm. Mittelwert molekulare Geschwindigkeit | cm1 | m/s |
Häufige Fragen
Ab wann gilt ein Gas als verdünnt?
Maßgebend ist die Knudsen-Zahl, das Verhältnis der mittleren freien Weglänge der Moleküle zur charakteristischen Abmessung (z. B. Spaltweite). Für Kn « 1 gilt die gewöhnliche Kontinuumsbetrachtung mit druckunabhängiger Wärmeleitfähigkeit, für Kn » 1 liegt freie Molekülströmung vor, dazwischen das Übergangsgebiet. Da die freie Weglänge umgekehrt proportional zum Druck ist, erreicht man den verdünnten Bereich entweder durch niedrigen Druck oder durch sehr kleine Spalte.
Was ist der Akkommodationskoeffizient und wie wähle ich ihn?
Der Akkommodationskoeffizient gibt an, welchen Anteil der zur vollständigen thermischen Anpassung fehlenden Energie ein Molekül beim Wandstoß tatsächlich austauscht. Er liegt zwischen 0 und 1 und hängt von Gasart, Wandwerkstoff, Temperatur und Oberflächenbelegung ab. Für technische Oberflächen und schwere Gase liegt er häufig nahe 1, für Helium und Wasserstoff an sauberen Metalloberflächen deutlich darunter. Da Messwerte streuen, sollte man die Empfindlichkeit des Ergebnisses gegenüber dieser Größe prüfen.
Warum sinkt der Wärmestrom im Vakuum nicht beliebig weiter, wenn ich den Druck senke?
Im Bereich freier Molekülströmung ist die Wärmestromdichte proportional zum Druck: Jede weitere Druckabsenkung reduziert den Gaswärmetransport. Parallel dazu bleiben jedoch Wärmestrahlung zwischen den Wänden und Wärmeleitung über feste Verbindungen (Abstandshalter, Aufhängungen) bestehen. Unterhalb eines bestimmten Drucks dominieren diese Anteile, sodass weiteres Evakuieren die Gesamtverluste kaum noch verringert.
Gilt die Berechnung auch für den Übergangsbereich zwischen Kontinuum und freier Molekülströmung?
Ja, der VDI-Wärmeatlas stellt für den Übergangsbereich Interpolationsbeziehungen bereit, die Kontinuumslösung und freie Molekülströmung verknüpfen (Temperatursprung-Ansatz). Gerade dieser Bereich ist praktisch wichtig, weil viele Vakuumisolierungen im Grob- und Feinvakuum genau dort arbeiten.