Aufgabenstellung und Berechnungsziel
Das Modul berechnet die stationäre Wärmeleitung nach dem VDI-Wärmeatlas (12. Auflage 2019) für die klassischen Grundgeometrien: ebene Wände und Platten, Hohlzylinder (Rohre) und Hohlkugeln, jeweils auch mehrschichtig, sowie Rippen, Stäbe und Drähte. Zusätzlich lassen sich zweidimensionale Leitungsprobleme über Formkoeffizienten behandeln, etwa erdverlegte Rohre oder Körper mit ovalen und rechteckigen Querschnitten.
Stationäre Wärmeleitung berechnen ist eine der Grundaufgaben des Apparate- und Anlagenbaus: Temperaturverläufe in Behälter- und Ofenwänden, Wärmeströme durch Rohrwände und Dämmschichten, die Wirksamkeit von Rippen auf Heiz- und Kühlflächen oder die Wandtemperaturen mehrschichtiger Aufbauten. Aus Wärmeleitfähigkeit, Schichtdicke und Fläche ergibt sich der Wärmeleitwiderstand jeder Schicht; die Reihenschaltung der Widerstände liefert Wärmestrom und Zwischentemperaturen.
Das Modul folgt dabei den Beziehungen aus Abschnitt E1 des VDI-Wärmeatlas und stellt die Ergebnisse so bereit, dass sie direkt in Wärmedurchgangs- und Verlustrechnungen (etwa mit dem Modul zum Wärmeverlust von Wänden und Rohrleitungen) weiterverwendet werden können.
Regelwerk und Berechnungsbasis: VDI-Wärmeatlas, 12. Auflage 2019
So läuft die Berechnung ab
- Geometrie festlegen: Zuerst wird die Grundgeometrie gewählt: ebene Wand, Hohlzylinder oder Hohlkugel, ein- oder mehrschichtig, alternativ Rippe, Stab oder ein zweidimensionaler Fall mit Formkoeffizient. Die Geometrie bestimmt, welche Leitungsgleichung angesetzt wird.
- Abmessungen und Stoffwerte vorgeben: Für jede Schicht werden Dicke bzw. Innen- und Außendurchmesser sowie die Wärmeleitfähigkeit bei der maßgebenden Mitteltemperatur eingegeben. Bei temperaturabhängiger Leitfähigkeit wird mit dem Wert bei der mittleren Schichttemperatur gerechnet, was ggf. eine kurze Iteration erfordert.
- Randbedingungen setzen: Als thermische Randbedingungen dienen die Oberflächen- bzw. Wandtemperaturen auf beiden Seiten oder ein vorgegebener Wärmestrom. Damit ist das stationäre Leitungsproblem vollständig bestimmt.
- Widerstände und Wärmestrom berechnen: Für jede Schicht wird der Wärmeleitwiderstand gebildet – bei der ebenen Wand proportional zur Dicke, beim Hohlzylinder mit dem Logarithmus des Durchmesserverhältnisses, bei der Hohlkugel mit der Differenz der Kehrwerte der Radien. Die Reihenschaltung liefert den Gesamtwiderstand und daraus den Wärmestrom.
- Temperaturverlauf und Sonderfälle auswerten: Aus Wärmestrom und Einzelwiderständen folgen die Temperaturen an den Schichtgrenzen. Bei Rippen und Stäben werden zusätzlich Rippenwirkungsgrad und Temperaturverlauf längs der Rippe berechnet; bei zweidimensionalen Fällen wird der Wärmestrom über den Formkoeffizienten der Anordnung bestimmt.
Eingabegrößen
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Fläche | A | m² |
| Wandtemperatur 1 | ϑ0 | °C |
| Wandtemperatur 2 | ϑn | °C |
| Anzahl Schichten | n | – |
| Schicht 1 | s1 λ1 | m |
| Schicht 2 | s2 λ2 | m |
| Schicht 3 | s3 λ3 | m |
| Schicht 4 | s4 λ4 | m |
| Schicht 1 | r1 λ1 | W/(m·K) |
| Schicht 2 | r2 λ2 | W/(m·K) |
| Schicht 3 | r3 λ3 | W/(m·K) |
| Schicht 4 | s4 λ4 | W/(m·K) |
| Schicht 1 | ϑ1 | °C |
| Schicht 2 | ϑ2 | °C |
| Schicht 3 | ϑ3 | °C |
| Schicht 4 | ϑ4 | °C |
| X-Koordinate | x | m |
| Beginn der Schicht Alle Koordinaten beziehen sich auf x = 0 | xk | m |
| Wärmeleitfähigkeit | λk | W/(m·K) |
| Temperatur am Beginn | ϑk | °C |
| Länge | l | m |
| Innen | r0 | m |
| Schicht 1 | r1 λ1 | m |
| Schicht 2 | r2 λ2 | m |
Berechnungsergebnisse
| Größe | Symbol | Einheit |
|---|---|---|
| Wärmestrom je Längeneinheit | Q/l = Ql | W/m |
| Wärmeleitfähigkeit | λ | W/(m·K) |
| Formfaktor | Sl | - |
| Temperatur | ϑ2 | °C |
| Temperatur | ϑ1 | °C |
| Berechnung nach VDI-Wärmeatlas Tabelle Nr. | Tafel | - |
| Anordnung Nr. | Anordnung | - |
| Parameter b bzw b1 | b | m |
| Parameter Delta | δ | m |
| Parameter a bzw. a1 | a c | m |
| Parameter c | a c | m |
| Parameter n | n | - |
| Parameter h | h | m |
| Parameter e | e | m |
| Parameter d | d | m |
| Parameter b2 | b1 b2 | m |
| Parameter a2 | a1 a2 | m |
| Formfaktor | Sr | - |
| Parameter r | r | m |
| Parameter r1 | r1 r2 | m |
| Parameter r2 | r1 r2 | m |
| Kreisscheibe / Kugel | Kreisscheibe | - |
| _Bemerkung | _Bemerkung | - |
| _Bemerkung | _Bemerkung | - |
Berechnungsoptionen
Kreisscheibe / Kugel
Kreisscheibe · Kugel
Gelöstes Beispiel
Eine Rohrleitung ist mit einer 50 mm dicken Mineralwolleschale gedämmt. Die Dämmung beginnt am Außendurchmesser des Rohres von 88,9 mm; ihre Oberflächentemperaturen sind innen 150 °C und außen 40 °C. Die Wärmeleitfähigkeit der Mineralwolle beträgt bei der Mitteltemperatur 0,05 W/(m·K). Gesucht ist der längenbezogene Wärmestrom durch die Dämmschicht.
Gegebene Werte
| Innendurchmesser der Dämmschicht d1 | 88,9 mm |
| Außendurchmesser der Dämmschicht d2 | 188,9 mm |
| Innere Oberflächentemperatur ϑ1 | 150 °C |
| Äußere Oberflächentemperatur ϑ2 | 40 °C |
| Wärmeleitfähigkeit λ | 0,05 W/(m·K) |
Lösungsweg
Formel für den Hohlzylinder
Für die stationäre Wärmeleitung durch eine zylindrische Schicht gilt der längenbezogene Wärmestrom:
ql = 2 · π · λ · (ϑ1 − ϑ2) / ln(d2/d1)
Durchmesserverhältnis einsetzen
ln(d2/d1) = ln(188,9 / 88,9) = ln(2,125) = 0,7537
Wärmestrom berechnen
ql = 2 · π · 0,05 W/(m·K) · (150 − 40) K / 0,7537
ql = 34,56 / 0,7537 W/m ≈ 45,9 W/m
Je Meter Rohrleitung strömen also rund 46 W durch die Dämmschicht. Der Temperaturverlauf in der Schicht ist dabei logarithmisch über dem Radius.
Ergebnis
| Längenbezogener Wärmestrom q_l | ≈ 45,9 W/m |
Alle Werte sind beispielhaft. Maßgeblich sind das jeweils gültige Regelwerk und die projektspezifischen Randbedingungen.
Häufige Fragen
Wann darf ich stationär rechnen und wann brauche ich eine instationäre Betrachtung?
Stationäre Rechnung setzt voraus, dass sich die Randbedingungen zeitlich nicht oder nur langsam gegenüber der thermischen Zeitkonstante des Bauteils ändern. Für Dauerbetriebszustände von Öfen, Rohrleitungen und Behältern ist das erfüllt. An- und Abfahrvorgänge, Chargenprozesse oder Störfallszenarien erfordern dagegen eine instationäre Rechnung, weil dort die Wärmespeicherung in der Wand das Verhalten dominiert.
Warum wird beim Rohr mit dem Logarithmus des Durchmesserverhältnisses gerechnet?
Beim Hohlzylinder wächst die durchströmte Fläche mit dem Radius, die Wärmestromdichte nimmt also nach außen ab. Die Integration der Fourierschen Gleichung über den Radius liefert deshalb den Widerstand R = ln(d_a/d_i)/(2·π·λ·L) je Rohrlänge. Die Näherung über eine mittlere Fläche ist nur bei dünnwandigen Rohren zulässig; bei dickwandigen Schichten wie Dämmungen führt sie zu deutlichen Fehlern.
Wie gehe ich mit Kontaktwiderständen zwischen den Schichten um?
Die ideale Reihenschaltung setzt vollflächigen Kontakt der Schichten voraus. Reale Grenzflächen – etwa zwischen Rohr und aufgeschobener Dämmschale oder zwischen Wand und Bekleidung – haben Luftspalte, die als zusätzlicher Widerstand wirken. Bei Dämmberechnungen wirkt das meist günstig (mehr Widerstand), bei Kühlaufgaben aber gefährlich, weil die Wärmeabfuhr überschätzt wird. Im Zweifel sind Kontaktwiderstände konservativ anzusetzen.
Was sagt der Rippenwirkungsgrad aus?
Der Rippenwirkungsgrad ist das Verhältnis des tatsächlich über die Rippe abgeführten Wärmestroms zu dem Wärmestrom, den die Rippe bei durchgehend Fußtemperatur abführen würde. Er sinkt mit zunehmender Rippenhöhe, steigendem Wärmeübergangskoeffizienten und abnehmender Wärmeleitfähigkeit des Rippenmaterials. Lange, dünne Rippen aus schlecht leitendem Material bringen deshalb kaum Zusatzleistung – die Rippenauslegung ist immer ein Optimum aus Fläche und Wirkungsgrad.